一项安排，为什么会有两个答案#

设有三项工作 A、B、C，工时分别为三小时、两小时和一小时。A、B 是准备工作，二者都完成，C 才能开始。工时固定，工作开始后不中断，各项工作都可以从时刻零起安排；C 所需的执行资源在准备完成后可用。为使关系清楚，我们暂时放下搬运、材料短缺和切换工具等额外用时。这里的数字和条件是一项数学构造。

若 A、B 可以由两名工人分别执行，就让二者同时开工。B 在第二小时完成，A 在第三小时完成，C 随后开始，第四小时结束。若 A、B 必须由同一名工人完成，二者便得排队：准备工作共用五小时，C 再用一小时，最早到第六小时结束。三项工作的总工时一直是六小时，项目的最短完成时间却随资源关系改变。

总工时保留了工作量，完成时间还要看工作怎样接续、哪些工作能够同时进行。两个数都可以有用。比如只有一名工人承担全部工作时，工作量能给出一种时间下界；资源充足时，某些工作会并行，这个下界就得重新辨认。我们首先需要的，是把每个数所记录的关系说清楚。

原创时间图。上图资源充足，下图 A、B 共用一名工人；C 均在二者完成后开始。

可以用三个点记录任务，画出 A→C、B→C 两条箭头。箭头表示前项完成，后项才能开始。这样，先后关系取得了图的形式：C 有两个前提，A、B 之间没有先后要求。我们能检查哪些任务必须等待，哪些任务间没有这样的约束，也能沿箭头追踪更长的依赖。

然而，“没有先后要求”还容许许多安排。A、B 可以同时做，也可以因资源争用而先后做。依赖图留下了前置条件，没有记录所有执行条件。要回答资源充足时的问题，这种取舍有实际收益；要回答只有一名工人时的问题，还得让资源关系进入对象。对一种表达的判断，开始落在它能否支持所求推理上。

把候选安排写成开始时刻 $s=(s_A,s_B,s_C)$，三项工时记为 $p_A=3,p_B=2,p_C=1$。时刻均以小时计，且 $s_i\geq0$。依赖条件是

代入一份安排，就能判断它是否遵守依赖。$(0,0,3)$ 合法，$(0,0,2)$ 却让 C 在 A 完成之前开始。于是“可以怎样安排”有了明确的候选对象和检查关系。整个项目的完成时间取所有任务结束时刻的最大值：

固定上述工时后，我们在合法的 $s$ 中使 $F_p(s)$ 最小。选择对象、可行条件和比较办法接到了一起。仅有一张依赖图，尚未确定比较目标；仅有一个目标函数，也没有规定哪些安排允许进入比较。一个优化问题的内容在这几项关系相接时形成。

共享工人时，A、B 占用的时间区间必须不重叠。使用左闭右开区间 $[s_i,s_i+p_i)$，可以让一项工作结束时另一项立即开始。新增条件写成

这里的“或”保留了选择。先 A 后 B 与先 B 后 A 都允许；若直接加一条 A→B 的箭头，便已经替安排者选定了次序。这个改动会缩小可行集合。它可以描述一份方案，却不能继续代表原来所有允许方案。

由于两项准备工作不能重叠，二者全部完成至少用五小时；C 又在二者之后用一小时，故任何合法安排都至少要六小时。$(0,3,5)$ 达到这个下界，$(2,0,5)$ 也达到它。我们由不可避开的限制取得下界，再由构造取得上界，二者相合，才确定最优值。

这两份安排还有不同的过程。B 在第一份中第五小时才完成，在第二份中第二小时已经完成。如果准备件 B 可以单独交付，差别就有意义；若只关心整个项目的工期，两份安排在该目标下并列最优。继续比较时，须加入相应观察或偏好。一个数字已经算到最优，并不替我们保管尚未进入这个数字的事情。

从一个例子走到一类对象#

三项工作的答案容易算出，形式化的收益却不限于这三个数。既然依赖可以表达成图，就能问：对怎样一类依赖图，最长的依赖链足以确定最短工期？这个问题由一个实例走向了一个家族。我们开始研究一项关系在什么条件下普遍成立。

设任务集合 $V$ 有限且非空，依赖关系为有向无环图 $G=(V,E)$。每项任务有固定工时 $p_i\geq0$，允许开始时刻 $s_i\geq0$。若 $(j,i)\in E$，就要求 $s_i\geq s_j+p_j$。任务开始后连续执行；资源充足，所有已满足依赖的任务都可以立即开始。

“无环”在此承担一项具体工作：任务能够按拓扑顺序处理，每项任务出现时，其前置任务都已处理。有限无环图必有一个没有入边的点，否则从任意点反复向前找前置点，有限个点中就会重复，形成有向环。删去这个点，再重复同样步骤，便得到所需顺序。这也给出了下面递推能够开始并最终完成的理由。

取任意一条依赖路径 $P=(i_1,\ldots,i_k)$。沿路径，各项工作须依次完成；从非负时刻开始，项目工期至少为这条路径上工时的和。单个点也作为一条路径计入，因此

是任何合法安排的下界。图有限且无环，路径数有限，最大值存在。这里不需要工时严格为正，零工时任务也被包含在关系中。

接下来构造达到下界的安排。按拓扑顺序计算每项任务的完成时刻：

若 $i$ 没有前置任务，最大值按零处理。由定义，每项任务都在所有前置任务完成以后开始，资源充足又使这些开始时刻可以同时实现。候选安排因而合法。

还要证明这份安排确实达到 $L$。对拓扑顺序归纳：没有前置任务时，以 $i$ 结尾的路径只有该点，最长工时和为 $p_i=f_i$；有前置任务时，任何以 $i$ 结尾的较长路径，都是一条以某个前置任务结尾的路径再接上 $i$。在这些前置完成时刻中取最大，再加 $p_i$，恰得到以 $i$ 结尾的最长路径工时和。故所有任务的最大完成时刻为 $L$。

我们已经证明：在这组条件下，最短工期等于最长依赖路径的工时和。证明的两半各自承担不同内容。路径限制适用于所有合法安排，给出下界；递推给出一份合法安排，证明下界可达。写出递推以后，还须说明它为什么合法、算出的是什么、为何达到界。算法的形状与最优性的根据由此相接。

现在返回共享工人的三任务例子。最长路径仍为四小时，它依然是下界，因为共享资源没有解除任何依赖。然而达到四小时的递推安排让 A、B 同时开工，违反了新增的资源约束。变化发生在构造的可行性上。原证明的下界部分继续成立，可达部分失去了条件。

这个区分有实际作用。面对一次失败，我们能够保留有效的结论，再修订受影响的一步。如果把原结论整个丢弃，就失去了仍然有用的下界；如果只改最终数字，却不修改构造的条件，又不知道新答案由什么支持。证明本身帮助我们定位表达需要改变的位置。

图还会因不同任务解释而改变内容。两个任务互相要求对方完全结束后才能开始，若其中有正工时，就不能按上述规则完成；若环上工时全为零，同时完成的约束却可能有解。这个边界说明，出现一条有向环与“任何条件下都无解”之间仍有区别。我们采用无环条件，是为上述家族建立统一的递推和最优性结论；改变任务执行语义以后，需要重新研究对应对象。

可行集合如何生成新的问题#

资源限制增加以后，可以先放下其中一部分，求一个较易处理的问题。记共享资源下的可行集合为 $\mathcal F_{\mathrm{res}}$，只保留依赖的可行集合为 $\mathcal F_{\mathrm{dep}}$。每份满足资源限制的安排都满足依赖，因而

在同一目标 $F_p$ 下扩大候选集合，最小值不会增加：

用下确界书写，可以容纳尚未证明最优值能够达到的情形；在上面的有限任务构造中，我们已给出达到最优值的安排，可以写成最小值。记号的选择也在保存论证究竟走到了哪一步。

三任务例子中，松弛后的值为四，实际资源限制下的值为六。我们又从共享工人至少连续承担五小时准备工作，得到更强的六小时下界，最终与可行安排相合。较大问题里，下界与已经找到的可行值未必相等，二者之间的距离就成为一项新的研究对象。

比如已经找到工期为十小时的可行安排，而证明任何安排都不可能少于八小时，那么当前安排距最优值至多两小时。这句话由上下界直接推出，不需要知道真正最优值。如果继续找到九小时安排，或把下界提高到九，认识便发生确定的进展：前者改进可行方案，后者加强必然限制。两条路可以独立工作，也可以最后相合。

由此还能问：哪些资源约束删去以后最优值不变？怎样判断某条新增约束是否真正限制了目标？同一依赖图下，资源数量变化会怎样改变工期？这些问题源于对象之间的关系，已经超出了原来的三项工作。数学构造给了它们可推理的内容。

“加一项条件”与“改变问题”也需要分辨。如果是在同一安排空间里增加资源约束，可行集合缩小，旧下界通常能够沿包含关系保留；如果同时改了任务可中断性、完成时间的定义或目标排序，就未必还存在这个包含关系。比较之前先确认双方对象，才能让大小关系承担结论。

有时，新的表达并未把原问题算得更快，却使它可以从另一个方向研究。下界、对称性、边界、可行变化和最优值的敏感性，都可能成为这种方向。问题取得数学形式以后，数学自身的构造开始参与提出问题；原来的用途仍可回来检验这些方向是否值得继续。

比较之前，先说观察什么#

一个关系可以保留许多内容，我们却常常只从中读出一个量。三任务的两份六小时安排，完工时间相同，B 的交付时间不同；在一种观察下相同，在另一种观察下便有差别。这使“有没有影响”成为一个需要补足的问句：影响落在什么观察上？

把安排空间记为 $\mathcal S$，观察取为映射 $q:\mathcal S\to\mathcal Y$。比如 $q(s)=F_p(s)$ 记录工期， $q_B(s)=s_B+p_B$ 记录 B 的完成时间。比较两份安排 $s,s'$，可以问 $q(s)=q(s')$，也可以在数值余域上问差值、比例或大小。观察域与比较办法都明确以后，差异才有确定的含义。

观察也可能是一组量、一条轨迹或一个概率律。若关心施工过程中同时占用多少工人，就需要随时间变化的占用函数；若关心多次执行的延误风险，就需要记录相应的随机事件与概率。把它们都压成一个完工平均值，会使部分问题无法继续回答。压缩本身可以服务于当前判断，留下的信息也应当能够支撑这个判断。

一个简单的传递构造能把这件事看得更清楚。考虑固定条件下的标量串联，输入依次乘以 $H_1,\ldots,H_n$。第 $j$ 级的累计响应因子为

如果只观察末端 $T_n$，交换标量因子的次序不会改变它；乘法的交换律已经给出这个结论。取两级因子 $(2,\tfrac12)$ 与 $(\tfrac12,2)$，末端因子都等于一。若观察沿途最大的累计放大 $\max_{1\leq j\leq n}|T_j|$，两者分别为二和一。前一个观察保存总乘积，后一个观察还追踪了前缀。

因此，对“次序是否有影响”的回答可以同时包含两项确定认识：它对这个构造的末端因子无影响，对沿途最大放大有影响。原来的一项不变性值得保留。若科学关切本就是末端，换成前缀观察就已经改变了问题；若关切沿途的负荷，末端量则可能遗漏所需内容。数学推理帮助我们辨认这两种情形，也防止为制造想要的差异而悄悄更换比较。

从标量进入矩阵或算子，乘法还可能不交换。此时需要说出输入输出空间、运算的定义域和所用范数，才有办法判断次序怎样影响传递。一个在标量对象上的证明，不能仅靠继续使用字母 $H$ 就扩大到所有线性系统。对象种类改变了，证明所用的结构也要检查。

这样的检查会把研究问题变得更具体。说“参数对系统有影响”，可以指同一条件下的局部变化，也可以指跨条件总体的平均变化，还可以指最坏条件下的边界。固定条件、总体及其权重、允许变化和观察量各自决定不同问题。后面选择导数、概率、最优化或算子，并不是给同一句话换装；它们要承担这些已经辨出的关系。

从当前读数走到状态与历史#

安排问题中，工时是给定参数，开始时刻是选择；在实际执行中，谁已完成、谁仍占用资源，又形成随时间变化的状态。它们可以写在同一张表里，却承担不同角色。参数规定当前研究的家族实例，输入把外部变化带进来，动作由策略选择，状态则组织下一步演化。把这些角色分清，才能知道“改变一个量”究竟改了什么。

特别需要检查的是状态与观察。某个量能够被读出，并不自动取得组织未来演化的资格。考虑一个有限的确定系统，内部状态集合为 $X=\{a,b,c\}$，一步演化 $T:X\to X$ 满足

仪表只显示零或一，观察映射为 $\pi:X\to Y=\{0,1\}$，其中 $\pi(a)=\pi(b)=0,\ \pi(c)=1$。现在显示零，内部可能是 a，也可能是 b；前者下一步显示一，后者下一步仍显示零。相同当前读数容许不同未来。

若要直接在读数上定义一个确定演化 $g:Y\to Y$，应当使

等式的左边先让内部状态演化，再观察；右边先观察，再让观察值演化。两条路给同样结果，观察才能承担这一层确定动态。上面的构造做不到：由 a 要求 $g(0)=1$，由 b 又要求 $g(0)=0$。

这个失败还给出一个一般的检查办法。取任意集合 X、确定演化 T，以及到观察像集 $Y=\pi(X)$ 的映射 $\pi$。存在满足上述等式的 g，当且仅当

必要性来自对共同观察值应用同一个 g。充分性则可直接构造：给定 y，取任意满足 $\pi(x)=y$ 的内部状态，定义 $g(y)=\pi(Tx)$；条件保证换一个这样的 x 也给同一结果，因此定义与代表元无关。两步合起来，便证明了这个充要条件。

我们由一个小反例取得了可复用的认识：压缩以后，运算能否下降到压缩对象上，要检查被视为相同的对象经过运算以后是否仍被视为相同。这与当前读数“看起来足够详细”是不同的判断。这里的困难落在运算与观察之间的相容性上。

也可以让读数零有两个允许后继，把确定函数改成关系 $R=\{(0,0),(0,1),(1,1)\}$。这确实记录了一步可能性，继续拼接时却会出现新问题。关系允许 $0\to0\to1$，原内部系统中没有这条读数轨迹：从 a 出发，第一步已经到一；从 b 出发，则一直为零。把各时刻的可能性逐步接起来，遗失的内部身份让一些不可能的历史进入了候选。

这个例子使“用关系代替函数”也成为一项需要检查保持内容的变换。它可以给出外部行为的放宽，帮助证明某些对放宽行为仍成立的性质；要精确保存全部历史，则还需更多结构。语言选择带来了表达能力，也带来了相应的证明义务。

如何补足，要随问题决定。可以保留区分 a、b 的内部状态，可以把有关的观察历史带进新的状态，也可以在已有概率条件下维护关于隐藏状态的条件分布。在这个有限例子中，连续两次读到零就能确定内部是 b；第一次的零与第二次仍为零，合起来包含了单个当前零所没有的信息。历史在这里有明确的推理收益。

允许初始状态的范围也会改变答案。若本来只允许 b、c，当前读数已经足够，$g(0)=0,g(1)=1$ 就能闭合。故“这个观察能否作状态”还依赖研究域。扩大到 a 以后，旧结论失去条件；若没有扩大研究域，原来较简洁的状态仍可继续使用。

从状态到历史、从函数到关系、从单个点到条件分布，改变了数学对象的种类。我们不必把所有过去都原样保存，也不必每遇到困难就引入概率。需要保留的是后续推理真正使用的关系；通过构造和证明，才能判断哪些压缩仍然足够。

未知工时与决策时刻#

不确定性也会改变对象。假如工时在开工前尚未知道，开始时刻究竟是提前公布的固定数字，还是执行中根据完成情况作出的决定？两种解释都合乎日常说的“安排”，其数学内容却不同。

仍取 A、B 两项共用一名工人的准备工作，C 在二者完成后用一小时，执行资源可用。现在工时有两种可能：

两种情形的总工时都是五小时。允许的安排始终满足先前的非负开始时刻、不中断执行、资源不重叠和依赖要求。我们比较同一组情形下能够保证的完工时间。

先要求公布一份固定开始时刻，对两组工时都有效。若 A 排在 B 前面，B 要等到 A 最慢的三小时之后才能开始，故 $s_B\geq s_A+3$。在 A 只用一小时、B 用三小时的另一种情形中，这个预先公布的 B 开始时刻仍然不变；B 至少到第六小时完成，C 随后再用一小时。因此最坏工期至少为七小时。若 B 排在 A 前面，论证对称，也至少要七小时。固定的 $(s_A,s_B,s_C)=(0,3,6)$ 确实在两种情形下都合法，并在第七小时结束，所以最好的固定安排保证七小时。

现在允许观察完成事件。先做 A，它一结束就做 B，B 一结束就做 C。开始时刻是 $s_A=0,\ s_B=p_A,\ s_C=p_A+p_B=4$。虽然这里用工时写出了结果，执行时只需等待已经发生的完成事件；开始 B 时，无须预先知道 B 还要用多久。这是一项依历史行动的策略。

两种情形下，该策略都在第五小时完成。共享工人要承担 A、B 的四小时工作，C 随后再用一小时，因此五也是下界。相对于固定开始时刻，允许依据已经出现的信息调整行动，最坏保证从七变成了五。差别来自所允许的决策对象及其信息条件。

记 $\Phi(s,p)$ 表示安排 s 在工时 p 下合法并在给定期限 D 之前完成。固定安排的承诺是

若完整工时在安排前告知，承诺则是

第一式成立，第二式也成立；反过来，各组工时所用的 s 可能不同，还没有给出一份共同固定安排。例中取 $D=5$，第二式成立，第一式不成立。我们这次有了实际计算的严格差别，量词次序的含义也落到了具体任务上。

在线策略处在另一种信息条件中。记截至时刻 t 已出现的观察和行动历史为 $h_t$，策略据此选择下一动作。非预见性要求：两种可能情形在 t 以前给出相同可用历史，就必须在这一时刻给出相同决策。它把“只能使用当时已有的信息”变成可以检查的限制。

这个限制不能由“每种情形都有一个好方案”推出。构造一项一次性选择：时刻零必须在 L、R 两台设备中选一台，期限为一小时；环境有两种情形，分别只有 L 或只有 R 能在期限内完成。选择前，两种情形给出的信息完全相同，也没有改选或重试机会。每种情形当然都有一项成功选择，非预见策略却必须在共同的初始历史上选同一台，因而无法对两种情形都保证成功。

这一构造与前面的完成事件策略相互补足。前例的信息会在后续选择之前出现，并且足以调整开始时刻；后例的决定必须先作出，所需区别来得太迟。所谓“根据反馈安排”，能做到什么，取决于反馈内容、出现时刻及仍然允许的动作。

若允许随机选择，又可以研究另一种承诺。环境情形在选择前已经确定，抽签独立于它。在不知道环境概率时，以概率 q 选 L，以 $1-q$ 选 R，两种环境下的成功概率分别为 q 和 $1-q$。最坏成功概率为 $\min(q,1-q)$，最多达到二分之一；等概率选择达到这个值。随机化建立了一项风险意义下的结果，并未建立对每种情形必然成功的承诺。

于是，不确定性的进入涉及许多具体关系：可能情形有哪些，是否具有概率权重，何时可观察，行动可否调整，以及比较最坏结果、平均结果还是成功概率。选一组平均工时，只回答了那组数下的安排问题；选一项策略，则把信息和行动的接续带入对象。数学语言使这些承诺能够分别陈述，也使它们之间的推论可以逐项建立。

数学语言怎样组织这些关系#

至此用到的数学，已经超出了给字母赋值。图提供点、边、路径和递推；约束提供合法安排及其包含关系；观察提供映射和比较；历史与策略使信息出现的次序进入行动。每种语言都有对象、有允许的构造，也有依这些结构成立的推理。

“数学语言”在这里有两个相连的用法。形式语言可以规定符号、类型和解释，例如一种运算怎样作用于哪些对象，哪些式子表示命题。更广的理论语言，则包括图、空间、测度、算子、动态、变分等组织研究的方式。选择后一种语言时，仍需说明它在当前问题中引入了什么对象和运算，允许我们证明什么。

一条有向边和一个不等式可以表达同一项前置关系，但两种表达各有便于操作的结构。图上可以追踪路径、分辨环、按拓扑顺序递推；不等式可以与时间窗、资源条件放在共同安排空间中检查。它们之间有可解释的对应，研究者可以在需要时切换。关键在于转换后哪些关系仍在，以及新的操作为何成立。

共享工人的“或”还引出一种几何认识。先固定 A 在 B 前，把非负时刻、依赖和 $s_A+3\leq s_B$ 合在一起，得到一个由线性不等式定义的可行区域；固定 B 在 A 前，则得到另一块区域。每块区域内，两份可行安排的凸组合仍然可行，因为线性不等式对凸组合保持。允许两种次序的整个可行集合，是这两块区域的并。

并集却未必有同样性质。前面的两个最优安排 $s=(0,3,5)$、$s'=(2,0,5)$ 都合法，其平均 $(1,1.5,5)$ 却让 A、B 的工作时间重叠。把方案平均，并没有得到可执行的折中。几何语言在此说明了一个具体困难：区域内的连续变化，与两种次序之间的变化，需要不同处理。

这种分离还可以直接从开始时间差看出。合法安排的 $\delta=s_B-s_A$ 必须满足 $\delta\geq3$ 或 $\delta\leq-2$。若试图连续改变一份 A 先做的安排，最后走到 B 先做的安排，连续的 $\delta$ 就必须经过中间被排除的值。依照当前执行规则，这条连续过渡不能始终可行。

我们因而可以先选择离散次序，再在相应区域内安排连续时间。这个分工由问题结构产生。若工作允许中断，或者增添一名工人，原来的区域及其连接方式可能改变，又会形成另一类对象。几何的作用是使这些可行变化与阻隔清楚，而不是仅仅把图画得平滑。

概率语言处理的则是另一项关系。前面两种工时被当作允许情形，对它们各自保证截止时间。若另外给出两种情形的概率，就能研究平均工期、分位数或超期概率。允许集合与概率权重取得了不同职责：前者记录哪些情形可能出现，后者决定怎样汇总它们。相同的可能情形在不同概率律下，可以产生不同的平均判断。

比如两种情形中的损失分别为零和十，若概率为九成和一成，平均损失为一；若各占一半，平均损失为五。两种模型允许完全相同的损失值，差别落在权重。把若干试验中的出现频率用作这些权重，还需要检查样本怎样取得、代表哪个总体。这项经验关系将在下一篇展开；当前计算已经说明，平均值的对象必须包括所采用的概率律。

算子语言则使“变化如何传到另一处”能够成为研究对象。前面的标量串联保留了各级乘法关系；进入向量或函数空间以后，还可以研究方向、范数、定义域与累计效应。局部扰动大小、末端响应大小和沿途响应大小因而可以分别定义。某项空间结构若能把原来分散的影响组织成一个可比较的映射，就增加了新的推理能力。

这些语言可以在一个问题中合用。策略作用于历史，历史受到动态规则约束，状态可能具有概率律，性能再通过观察或目标函数取得数值。各项之间有实际依赖，选择语言时便要沿依赖确定所需结构。我们无须先给每个问题安排一套同样的符号；先形成能支持当前操作的对象，再由推理暴露需要补足的地方。

反过来，过早固定一种语言也会替问题作出取舍。把所有关系写成单向函数，会预先期待每个输入有唯一输出；把所有对象写成可行集合，会放下概率权重；把一切变化写成欧氏距离，会期待各坐标差异可以按该方式汇总。这些取舍可以恰当，也可以需要修订。判断从其后果进入：哪一项有用推理得以成立，哪一项重要关系因此失去表达。

对称、取商与必须保留的结构#

“对象有多少自由度”也随身份标准改变。任务名字可以不同，资源和依赖结构却可能完全对称。若这种对称不影响当前观察，就可以研究更少的代表，或者研究由它们组成的等价类。

另取工时为 $p_A=p_B=2,p_C=1$ 的三任务问题，依赖仍为 A→C、B→C，A、B 共用工人。交换 A、B 同时保留工时、依赖和资源要求。于是合法安排 $(0,2,4)$ 与 $(2,0,4)$ 通过这一交换对应，项目工期都为五小时。

设 $\sigma$ 是任务集合上的置换，保持工时、依赖和资源关系。它作用于安排时，只把每个任务的开始时刻放到对应任务上，即 $(\sigma\cdot s)_{\sigma(i)}=s_i$。逐项代入条件，便能看到：合法安排仍被送到合法安排；因为工时也被保持，所有完成时刻只是重新排列，其最大值不变。对称性同时保持了可行性和当前目标。

我们可以把能通过这些保持结构的置换相互转换的安排视为一类，研究安排空间的商。这里取商所删去的是当前结构和观察无法分辨的命名差异。若实际 A 需要一项不同的资格，或者我们另外观察 A 的单独交付时间，原来的交换可能失去条件，新的比较就要保留相应区别。

因此，重新命名与允许对称变换并不总是同一件事。单纯给符号换名称、同时搬动全部意义，通常只改呈现；固定问题的解释以后，仅移动部分对象，则要检查结构是否保持。这样的区分使取商有了根据，也使所谓“冗余”落到明确的关系上。

观察闭合的充要条件正好可以用于这里。某项运算若要在等价类上定义，就须确认换一个代表也给同一类结果。保持目标，仅足以让目标在商上成为一个函数；若还想在商上定义演化、训练或组合，就要分别检查那些运算。一个能压缩评价的等价关系，未必足以压缩全部动态。

这使“大对象”和“小对象”之间的关系不再只是变量数量的比较。较小对象可能保留所需推理，也可能遗漏后续操作必须使用的结构。参数空间中的两个点能够实现同一个函数，就是学习系统中的一个重要入口；研究函数行为、表示形成或继续训练时，需要保留的内容未必相同。第三篇会打开这些身份关系，第四篇再研究它们随训练与尺度怎样变化。

一个数学构造怎样迫使语言发展#

取商使对象压缩，提升则可能增加对象的层次。两种操作都可以有充分的数学理由。若某种比较已经把两条路径看得很近，而所求运算仍把它们分得很开，我们就要检查比较是否放下了该运算使用的信息。

考虑区间 $t\in[0,2\pi]$ 上的光滑平面路径，n 取正整数：

每条路径从原点出发，也回到原点；它绕半径 $1/\sqrt n$ 的圆 n 圈。相对零路径，其一致范数满足

若只按最大位置差比较，路径确实越来越接近静止于原点。然而计算两坐标之间的积分，

这里 $dx_n^2(t)=\sqrt n\cos(nt)\,dt$；整数 n 使余弦在区间内完成整周期，余弦积分为零，平方的积分为 $\pi$。零路径的同一积分为零，故一致趋近并未保存这项积分。

小位置变化与累计交互取得了不同尺度。圆越小，转动越快，重复次数越多。路径的速度模为 $\sqrt n$，总变差为 $2\pi\sqrt n$，恰显示运动总量并没有随位置振幅一起变小。一次位置比较留下了我们看得见的“小”，积分还使用了它放下的“如何走过”。

这个构造给出一项明确的不可能性结果：不存在一个定义在全部连续平面路径上、对一致范数连续、且在全部光滑路径上等于上述积分的延拓。否则光滑的 $x_n$ 一致趋于零，就要求积分趋于零，与每项都为 $\pi$ 矛盾。问题已经由一条具体曲线进入一种运算与一种拓扑能否相容。

这时继续提高位置拟合精度，仍不能独自解决困难。可以限制所允许路径的变化，也可以加强比较，或者把积分所需的交互层放进对象。不同选择产生不同理论问题：在何种路径类上运算连续，什么更强距离足够，增加的层应满足哪些结构关系？

对光滑路径，先定义区间交互量

分割区间 $s<u<t$，把第二段中的 $x^1(r)-x^1(s)$ 拆成 $x^1(r)-x^1(u)$ 与 $x^1(u)-x^1(s)$，便得到

新增交互量因此有一条可证明的拼接关系。它同原路径的增量相连，区间之间怎样组合也有了约束。提升对象的意义在这里逐渐取得内容：我们既保存位置增量，也保存某种二阶交互；允许的对象还须服从这条关系。

粗糙路径理论系统发展了这一思路，以路径及其迭代增量构造增强对象，同时规定代数关系和相应正则性、比较尺度。¹ 在本例中，我们已经用光滑曲线和普通积分看清楚需要补入的关系。进一步要研究一般积分或驱动方程的稳定性，就应在增强对象上建立对应条件和证明。

数学构造在这里主动改变了问题。起先只是“路径很接近时，积分会不会接近”；反例使我们辨出一致比较的缺口，继而形成连续延拓、正则性、增强对象和组合关系等问题。它们有自己的数学内容，也能在研究受快速振荡信号驱动的系统时发挥作用。向应用返回时，仍需确认实际对象和观察是否保留了这一机制。

理解的修订，可以发生在不同范围#

沿这些构造回看，“模型需要修改”至少涉及几种不同的工作。工时变化、观察改变、状态补足和语言发展，都可能使原来的理解发生变化。辨认修订范围，能帮助我们保留有效结果，并重新检查真正受影响的关系。

一种修订发生在实例和假设中。资源充足时，工时由三小时改成四小时，任务集合与依赖仍在，最长路径的递推仍可使用，结果则随参数改变。若资源充足变成资源受限，变化已经触及定理条件：路径下界留下，可达构造须另做。这里要说明哪组参数、条件和初始情形已采用，后续结论才有对应对象。

另一种修订发生在表示和观察中。对同一安排，改看 B 的交付时间；对同一传递链，改看最大前缀放大；对同一状态，改用能区分 a、b 的读数。这些变化可以增加所需信息，也会改变相同与不同的标准。新的比较需要自己的定义，不能把它的成功倒写成旧比较已经成功。

表示的变化还可能是可逆的。若把开始时刻统一从小时改成分钟，并同时换算工时、期限和所有相关量，原安排有逐项对应，完成顺序和可行性可以保持。若只把某个数扩大六十倍，其余单位不动，就改变了条件本身。一个熟悉的换算也在要求映射保持正在使用的关系。

第三种修订改变对象的种类或构造。从固定开始时刻进入策略，从当前读数进入历史，从普通路径进入带交互层的路径，都增加了原对象不能承担的内容。随后允许的运算、相等标准和证明方法也可能变化。我们应重新检查受影响的定义与推论，解释旧对象如何成为新对象的特例、投影或某个受限部分。

策略尤其说明这类变化的意义。它并不是把工时参数列得更长，而是把“观察出现以后再选择”构造成一个对象。固定安排可以作为不随历史调整的特殊策略；完整知道未来的选择却不一定属于非预见策略。对象之间的关系由此明确，已有的七小时与五小时结果各自保留位置。

第四种修订涉及语言与理论组织。函数语言在某些地方不足以组织相容关系，行为和约束语言便使共同满足、无解、多解及隐藏变量成为可研究内容；一致路径比较不足以保存积分，增强对象与新的比较结构则进入问题。这里改变的不仅是一项参数，也包括所研究的对象类、允许操作和结论传递方式。

这些范围没有规定的先后等级。一次实验偏差可能只要求重估参数，也可能暴露状态遗漏；一个纯数学反例可能推动改变拓扑，也可能支持一项不可能性结论。采用一种较一般的理论，有时能够经济地组织关系，有时也会增加当前问题不需要的负担。修订应当由实质收益取得理由。

这种收益可以落实为几项具体认识：一个此前无法定义的运算如今有了良好定义，一条原先失败的推理在明确条件下成立，一种被压缩的差异重新进入观察，或者一项原承诺被证明在现有信息下无法完成。它们使后续研究、采样、实现与判断各有可以接续的地方。

打开模型，选定边界，再追踪用途#

以上构造还提示了一套更完整的组织方式。同一个对象可以从内部、边界和用途三个方向研究；当研究尺度改变，我们也可以在这些方向之间返回。需要统一的是关系的可追踪性，具体语义仍随对象种类保留。

内部视角首先问：这个模型内部是什么。依赖图、不重叠公式和目标函数是呈现；相应的合法安排与比较规则，是选定解释下的数学内容。这里的类型与定义域决定符号能做什么，解释决定式子指向什么关系，观察又决定从这些内容里读取什么。家族、固定实例和单次结果分别占据位置。

这也使“模型”一词的不同用法可以辨认。形式理论的模型，是满足指定语言及公理的结构；动力系统的数学内容可能由演化或允许历史组织；经验模型还需与实际参照对象建立表征关系。定义域中有解、公理得到满足，以及模型足以描述某项经验现象，各自回答不同问题。

内部比较因而有几个入口。换一种写法，可能保存全部语义；把允许安排压成一个最优值，则只保存某个观察；从可能结果集合走到概率律，补入了权重；从输出函数走到状态型程序，又加入了交互与作用。比较前须确定对象和身份标准，继而检查哪些结构保持。第三篇将充分展开这些关系。

开放组件视角则从一个用途选出边界。对排程工具，边界可以包括任务与资源资料、输出安排、更新时间和错误返回；对动态设备，还可能包括测量、动作、时钟、协议及所需能力。内部数学对象怎样在这些端口上产生行为，才成为互联的起点。

边界一旦确定，接线就给局部对象增加了共同约束。两个局部标量关系 $y=u$、$u=y+r$，分别都能单向求值；接起来却要求 $r=0$。当 $r\neq0$ 时无解，$r=0$ 时又有无穷多组 $(u,y)$。局部求值各自正确，并没有决定整体是否存在唯一结果。

用共同满足关系组织互联，我们能够明确研究约束是否相容、哪些内部量应被隐藏、外部还能看到什么。进入有时间的对象以后，还要检查历史、因果和反馈良定性。概率组件保留相应的概率律或核；仅看可能值的集合，不能代替风险与相关性的比较。

进一步还可给组件附上条件承诺：环境满足怎样的假设，组件保证什么，接线以后这些假设由谁兑现。更换组件时，同样的端口类型只是开始；实际时间、协议、作用及允许上下文都可能影响整体性质。第五篇将沿接线、隐藏、契约闭合与上下文替换把这项工作展开。

工程关系视角问的则是：这些对象和结果怎样支持一项用途或决定。这里需要把目的与决策 $P$、参照对象 $W$、观察资料及其来源 $Z$、语义模型 $M$、要求 $S$、操作判据 $J$、计算制品 $C$、运行系统 $O$、有地址的证据 $Q$、变化及其影响 $L$ 接到实际关系中。

若要用安排模型支持一次真实交付，首先须知道任务边界和资源条件，工时资料怎样取得，允许的安排怎样描述，期限与其他要求怎样规定。使工期最小是一种操作判据；某项必须满足的安全或资格要求，又可能另外限制可行集合。目的、要求和判据各自说明了决定中的一部分内容。

模型再由算法、代码和计算资源实现，结果可能交给人用于离线决策，也可能进入一个实时运行系统。输出一个数学上合法的安排、按规定时间输出它、实际执行后达到交付目标，分别需要相应关系成立。若计算延迟使安排发出时已经失去条件，正确的最优值还不能直接支持原来的运行承诺。

证据也因此有明确地址。对哪项主张、哪个对象、什么用途、哪个条件域和版本，使用什么方法建立了支持？调度定理支持资源充足家族中的最优性；一段代码测试支持指定计算行为；工时测量与执行记录又支撑经验和运行关系。证据的汇合要检查双方对象及条件相接，不能由“模型已验证”一语包办。

版本变化会使这种关系更清楚。改工时资料可能改变实例，改求解器可能改变计算制品，改更新时间可能改变运行对象，改用途则可能改变要求和观察。它们未必同时变化。第六篇会把责任图、离线和在线路径、证据及更新充分展开。

三个视角能够递归使用。把一个组合系统作为整体研究其用途，是工程关系视角；为解释失败而打开其中一个组件，可以返回内部视角；需要更换该组件，又进入开放边界和上下文。换一层尺度以后，仍要说清当前比较的对象，并让证明和证据跟随这一边界。

这张表给出了进入问题的方向。纯数学构造可以先在内部发展，离线分析可以经结果和证据返回决策，运行中的反馈也可以重新打开状态与观察。每种情况按照实际关系选择所需角色，理解才保持经济而又足够。

数学理解怎样回到实践#

数学的进展可以发生在不同地方。最长路径的证明使一类安排取得精确答案；不可闭合的观察揭示了状态信息的不足；七小时与五小时的差别使信息价值进入承诺；路径积分的反例则推动我们改变对象和比较。它们分别改变了能知道什么、能证明什么和能设计什么。

回到实际事情时，还要让这种改变取得经验内容。三小时与两小时从何而来，一项工作在当前条件下是否真能不中断执行，一名工人是否具备所需能力，测量与日志是否保存了决策使用的时刻，都会影响模型能否支持原定用途。数学构造已经说明这些关系的重要，具体成立与否还需要实际根据。

实践也可能改变提问。原先追求最短工期，运行中却发现把所有任务集中给某一位工人会产生新的负担；原先用平均延误评价方案，一次严重超期又使最坏风险成为主要关切。数学可以说明不同要求怎样改变可行集合和结果，相关参与者仍需形成对目的与代价的判断。新的目的再进入模型，推理和证据便要随之重新连接。

一种成熟的数学把握，因而容许问题继续发展。它能说明旧表述在哪一步取得了成果，在哪一步遇到困难，新结构增加了怎样的能力，以及哪些结果还可以保留。成功的计算和有内容的反例，都能参与这个过程；形式化使变化取得明确对象，也使后续修订有根据可循。

我们已经从三项任务走到图、可行集合、观察、历史、策略、商和增强路径。每次引入新对象，都有一项具体关系需要承担。接下来要追踪这些数学对象怎样与实际观测、装置和数据相接：一项形式关系如何取得描述经验对象的根据，反馈又如何改变它。第二篇从水箱进入这层工作。

模型与工程：六篇核心阅读

1. 数学怎样形成问题：对象、结构与语言
2. 模型怎样指向世界：表征、测量与经验有效性
3. 模型内部是什么
4. 模型怎样改变
5. 模型怎样进入整体
6. 从模型到工程判断：用途、实现、证据与更新

延伸阅读：一个扰动怎样穿过交通系统。